Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1．（1）求f（1）、f（4）的值；（2）解不等式：f（x）+f（x-3）＞2．

Answer 1

（1）依题意可得f（1）=f（1）+f（1），
解得f（1）=0；
又f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2；
（2）∵函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（4）=2，
∴f（x）+f（x-3）＞2?f[x（x-3）]＞f（4），
∴

x＞0 x?3＞0 x2?3x＞4

，
解得：x＞4．
∴原不等式的解集为：（4，+∞）．