Question

已知函数f（x）=13x3+ax2+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程是3x+y+2

已知函数f（x）=13x3+ax2+b，其中a，b∈R．（1）若曲线y=f（x）在点（-1，f（-1））处的切线方程是3x+y+2=0，求a、b的值；（2）若b=92，且关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）=

1

3

x³+ax²+b的导数f′（x）=x²+2ax，
则在点（-1，f（-1））处的切线斜率为：f′（-1）=1-2a，
由于在点（-1，f（-1））处的切线方程是3x+y+2=0，则1-2a=-3，
解得a=2，
又切点为（-1，1），则-

1

3

+2+b=1，
解得b=-

2

3

；
（2）函数f（x）=

1

3

x³+ax²+b的导数，
f′（x）=x²+2ax，
由于f（0）=b=

9

2

＞0，
关于x的方程f（x）=0有两个不同的正实数根，
则有f（x）的极小值为负即可．
由f′（x）=x²+2ax=x（x+2a），
则0＜x＜-2a，f′（x）＜0，x＜0或x＞-2a，f′（x）＞0，
则有a＜0，且f（-2a）＜0，
即有a＜0，且

1

3

×（-8a³）+4a³+

9

2

＜0，
解得，a＜-

3

2

．
故实数a的取值范围是（?∞，?

3

2

）．