Question

设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax+1在[-1，1]的最大值是14，求a的值

设a＞0且a≠1，函数y=a2x+2ax+1在[-1，1]的最大值是14，求a的值．

Answer 1

令t=a^x（a＞0，a≠1），则原函数化为y=t²+2t-1=（t+1）²-2（t＞0）
①当0＜a＜1时，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，

1

a

]，
此时f（x）在[a，

1

a

]上为增函数，所以f（x）_max=f（

1

a

）=（

1

a

+1）²-2=1     
所以a=-

1

5

（舍去）或a=

1

3

，
，x∈[-1，1]，t=a^x∈[a，

1

a

]，此时f（t）在[

1

a

，a]上为增函数，所以f（x）_max=f（a）=（a+1）²-2=14，
所以a=-5（舍去）或a=3，
综上a=

1

3

或a=3．

Answer 2

令t=a^x,t2>t1>0
y=a^2x+2a^x-1=t^2+2t-1=(t+1)^2-2
y2-y1=t2^2+2t2-1-(t2^1+2t1-1)
=(t2-t1)(t2+t1+1)
∵t2>t1>0
∴y2-y1>0,函数在区间内单调递增
若a∈(1,+∝),则t∈[1/a,a]
t=a,ymax=a^2+2a-1=14
a=3,(a=-5舍去)
若a∈(0,1),则t∈[a,1/a]
t=1/a,ymax=(1/a)^2+2/a-1=14
a=1/3,(a=-1/5舍去)
因此，a=3或a=1/3

Answer 3

一、y=a^(2x)+2a^x+1
y=(a^x)^2+2(a^x)+1=(a^x+1)^2

a^x=t
y=(1+t)^2
x=-1,y(max)=14
(1/a+1)^2=√14
a=(1+√14)/13

二、y=ax^2+2ax+1
a>0,a≠1，抛物线开口向上
y=ax^2+2ax+1=a(x+1)^2+1-a
x=-1,y(min)=1-a
在[-1，1]的最大值是14，可知，x=1,最大值=14

14=a+2a+1
a=13/3
三、y=a^2*x+2ax+1
y=(a^2+2a)x+1
k=a^2+2a>0
x=1,y(max)=14
14=a^2+2a+1
a>0
a=√14-1

Answer 4

解：令t＝ax(a>0且a≠1)，
则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t>0)．
当0<a<1时，x∈[－1,1]，
t＝ax∈，
此时f(t)在上为增函数．
所以f(t)max＝f＝2－2＝14.
所以2＝16，
所以a＝－或a＝.
因为a>0，所以a＝.
②当a>1时，x∈[－1,1]，
t＝ax∈，
f(t)在上是增函数．
所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
解得a＝3(a＝－5舍去)．
综上得a＝或3.