Question

对于某一自变量为x的函数，若当x=x 0 时，其函数值也为x 0 ，则称点（x 0 ，x 0 ）为此函数的不动点．现

对于某一自变量为x的函数，若当x=x 0 时，其函数值也为x 0 ，则称点（x 0 ，x 0 ）为此函数的不动点．现有函数y= 3x+a x+b ，（1）若y= 3x+a x+b 有不动点（4，4），（-4，-4），求a，b；（2）若函数y= 3x+a x+b 的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；（3）已知a=4时，函数y= 3x+a x+b 仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y= 3x+a x+b 的图象与函数y= - 5 x+3 的图象有什么关系？与函数y= - 5 x 的图象又有什么关系？

Answer 1

（1）将（4，4）、（-4，-4）代入y= 3x+a x+b 中，得 12+a 4+b =4 -12+a -4+b =-4 ，解得 a=16 b=3 （2）令 3x+a x+b =x，得：3x+a=x 2 +bx（x≠-b） 即x 2 +（b-3）x-a=0 设方程的两根为x 1 ，x 2 ，则两个不动点（x 1 ，x 2 ），（x 2 ，x 2 ）， 由于它们关于原点可以得到对称为，所以x 1 +x 2 =0， ∴ b-3=0 (b-3 ) 2 =4a＞0 ，解得 a＞0 b=3 ， 又因为x≠-b，即x≠-3，所以以a≠9， 因此a，b满足条件a＞0且a≠9，b=3； （3）由（2）知b=3，此时函数为y= 3x+4 x+3 ， 即y=3- 5 x+3 ∴函数y= 3x+4 x+3 的图象可由y=- 5 x+3 的图象向上平移3个单位得到， 又函数y=- 5 x+3 的图象可由函数y=- 5 x 的图象向左平移3个单位得到， ∴函数y= 3x+4 x+3 的图象可由函数y=- 5 x 的图象向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．