Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边和BC边分别交于点D、点E，连接CD，且CD=CA，BD= 6 5 ，tan∠ADC=2．（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）求半圆O的直径；（3）求AD的长．

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD， ∵OD=OB， ∴∠1=∠2， ∵CA=CD， ∴∠ADC=∠A， 在△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠1=90°， ∴∠ADC+∠2=90°， ∴∠CDO=90°， ∵OD为半圆O的半径， ∴CD为半圆O的切线； （2）如图，连接DE， ∵BE为半圆O的直径， ∴∠EDB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴∠ADC=∠3， ∴ tan∠3= BD ED =2 ， ∴ ED=3 5 ， ∴ EB= B D 2 +D E 2 =15 ； （3）作CF⊥AD于点F， ∵CD=CA， ∴AD=2AF=2DF， 设DF=x， ∵tan∠ADC=2， ∴CF=2x， ∵∠1+∠FCB=90°， ∴∠FCB=∠ADC， ∴tan∠FCB=2， ∴FB=4x， ∴BD=3x= 6 5 ， 解得 x=2 5 ， ∴AD=2DF=2x= 4 5 ．