Question

如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝3，AB＝4．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交C

如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝3，AB＝4．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）连接BG，求 的值．

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Answer 1

（1）连接OD，根据圆的基本性质可得∠OBD=∠ODB，再由AC=BC可得∠OBD=∠A，即可得到∠ODB=∠A，从而可得OD//AC，再结合DF⊥AC即可证得结论；(2)

试题分析：（1）连接OD，根据圆的基本性质可得∠OBD=∠ODB，再由AC=BC可得∠OBD=∠A，即可得到∠ODB=∠A，从而可得OD//AC，再结合DF⊥AC即可证得结论； （2）设CG=x，BC=3，CG=x，  AG=3-x，AB=4，再根据勾股定理即可列方程求解. （1）连接OD ∵OB=OD  ∴∠OBD=∠ODB ∵AC=BC  ∴∠OBD=∠A ∴∠ODB=∠A ∴OD//AC ∴∠EDO=∠EFC=90° ∴EF为切线； (2) 设CG=x，BC=3，CG=x，  AG=3-x，AB=4 由 可得 ，解得x= ， 则sin∠GBC= . 点评：在证明切线的问题中，一般先连接切点与圆心，再证垂直.