Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3， cosB= 2 3 ．（Ⅰ）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3， cosB= 2 3 ．（Ⅰ） 求b的值；（Ⅱ） 求 sin(2B- π 3 ) 的值．

Answer 1

（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理 a sinA = b sinB ，可得bsinA=asinB， 又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1． 由余弦定理可知：b 2 =a 2 +c 2 -2accosB， cosB= 2 3 ， 即b 2 =3 2 +1 2 -2×3×cosB， 可得b= 6 ． （Ⅱ）由 cosB= 2 3 ，可得sinB= 5 3 ， 所以cos2B=2cos 2 B-1=- 1 9 ， sin2B=2sinBcosB= 4 5 9 ， 所以 sin(2B- π 3 ) = sin2Bcos π 3 -sin π 3 cos2B = 4 5 9 × 1 2 -(- 1 9 )× 3 2 = 4 5 + 3 18 ．