Question

如图，一次函数y=ax+b（b≠0）的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，

如图，一次函数y=ax+b（b≠0）的图象与反比例函数 y= k x 的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA= 5 ，tan∠AOC= 1 2 ，且S △AOD =1．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△OAB的面积．

Answer 1

（1）过A作AE⊥x轴，交x轴于点E， 在Rt△AOE中，OA= 5 ，tan∠AOC= 1 2 ， 设AE=m，则OE=2m， 根据勾股定理得：OA 2 =OE 2 +AE 2 ，即m 2 +4m 2 =5， 解得：m=1或m=-1（舍去）， ∴AE=1，OE=2，即A（2，-1）， 将x=2，y=-1代入反比例解析式得：-1= k 2 ， 解得：k=-2， ∴反比例解析式为y=- 2 x ； ∵S △AOD = 1 2 OD?OE=1，OE=2， ∴OD=1，即D（0，1）， 将A和D坐标代入y=ax+b中得： 2a+b=-1 b=1 ， 解得： a=-1 b=1 ， 则一次函数解析式为y=-x+1； （2）对于一次函数y=-x+1， 令y=0，求得x=1，故C（1，0），即OC=1， 将一次函数与反比例函数联立得： y=- 2 x y=-x+1 ， 解得： x=2 y=-1 或 x=-1 y=2 ， ∴B（-1，2）， 则S △AOB =S △BOC +S △AOC = 1 2 ×1×2+ 1 2 ×1×1= 3 2 ．