Question

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y

如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点． （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer 1

解：（1）设椭圆方程为 则 ，解得 ∴椭圆方程 （2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m又 ∴l的方程为： 由 ， ∴x 2 +2mx+2m 2 ﹣4=0 ∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ∴△=（2m） 2 ﹣4（2m 2 ﹣4）＞0， ∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0} （3）设直线MA、MB的斜率分别为k 1 ，k 2 ，只需证明k 1 +k 2 =0 即可设 由x 2 +2mx+2m 2 ﹣4=0可得x 1 +x 2 =﹣2m，x 1 x 2 =2m 2 ﹣4 而k 1 +k 2 = = = = = = ∴k 1 +k 2 =0 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．