Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0且f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），并求

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0且f（xy）=f（x）+f（y）（1）求f（1），并求证：f（1x）=-f（x）（2）证明f（x）在定义域上是增函数．（3）如果f（13）=-1求满足不等式f（1x?2）≥2的x的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y）
令x=y=1，则f（1）=f（1）+f（1）
解得f（1）=0
令y=

1

x

，则f（x?

1

x

）=f（x）+f（

1

x

）=f（1）=0
故f（

1

x

）=-f（x）
（2）设0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，则f（

x2

x1

）＞0，
则令x=x₁，y=

x2

x1

，
则f（x₂）=f（x₁?

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁）
故f（x）在定义域上是增函数
（3）∵f（

1

3

）=-1，
∴f（3）=1，f（9）=f（3）+f（3）=2
又∵f（x）在定义域上是增函数，
故不等式f（

1

x?2

）≥2可化为f（

1

x?2

）≥f（9）
即

1

x?2

≥9
解得2＜x≤

19

9

即满足条件的x的取值范围为（2，

19

9

]