Question

已知定义在R内的函数f（x）满足下列条件：①对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；②当x＞0

已知定义在R内的函数f（x）满足下列条件：①对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；②当x＞0时，恒有f（x）＞12．（1）求f（0）的值；（2）证明：f（x）在区间（0，+∞）内是单调增函数．

Answer 1

（1）解：由于对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y），
令x＞0，y=0，则f（x）=2f（x）f（0），
由于当x＞0时，恒有f（x）＞

1

2

，
则f（0）=

1

2

；
（2）证明：设0＜x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
当x＞0时，恒有f（x）＞

1

2

，
即有f（x₂-x₁）＞

1

2

，
则f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=2f（x₂-x₁）f（x₁）＞2×

1

2

f（x₁），
即有f（x₂）＞f（x₁），
则f（x）在区间（0，+∞）内是单调增函数．