Question

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径

如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60度．（1）求∠AOC的度数；（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；（3）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer 1

（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等边三角形∴∠AOC=60°．

（2）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=

1

2

PO=4，
则PO=2CO=8；

（3）如图，（每找出一点并求出弧长得1分）
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴

AM1

＝

4π

180°

×60°＝

4

3

π
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为

4

3

π．

②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴

AM2

＝

4π

3

×2＝

8

3

π或

AM2

＝

4π

180°

×120°＝

8

3

π
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为

8

3

π．

③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴

AM2

M3＝

4π

180°

×240°＝

16

3

π或

AM2

M3＝

8π

3

×2＝

16

3

π
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为

16

3

π．

④当点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为

4π

180°

×300°＝

20

3

π或

16

3

π+

4

3

π＝

20

3

π．