如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为3，D为棱AC的中点．（Ⅰ）
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为3，D为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的...
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为3，D为棱AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A1-BD-A的大小．
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（Ⅰ）连接AB1交A1B于点O，连接OD，
则OD为△AB1C中B1C边上的中位线
所以OD∥B1C
又OD?平面ABD，B1C?平面ABD，
所以B1C∥平面ABD．
（Ⅱ）因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC
由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC1A1
又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BD?平面ABC
所以BD⊥平面ACC1A1，又AD?平面ACC1A1，A1D?平面ACC1A1
所以AD⊥BD，A1D⊥BD，
故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角
由AC＝2，AA1＝
，知在Rt△A1BA中，
tan∠A1DA＝
＝
＝
所以∠A1DA＝
，
故所求二面角的大小为
．
则OD为△AB1C中B1C边上的中位线
所以OD∥B1C
又OD?平面ABD，B1C?平面ABD，
所以B1C∥平面ABD．
（Ⅱ）因为△ABC为等边三角形，D为AC中点，所以BD⊥AC
由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，
所以平面ABC⊥平面ACC1A1
又平面ABC∩平面ACC1A1=AC，BD?平面ABC
所以BD⊥平面ACC1A1，又AD?平面ACC1A1，A1D?平面ACC1A1
所以AD⊥BD，A1D⊥BD，
故∠A1DA为二面角A1-BD-A的平面角
由AC＝2，AA1＝
| 3 |
tan∠A1DA＝
| A1A |
| AD |
| ||
| 1 |
| 3 |
所以∠A1DA＝
| π |
| 3 |
故所求二面角的大小为
| π |
| 3 |
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