Question

已知函数f（x）=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[1n，1m]，则

已知函数f（x）=-2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[1n，1m]，则m-n=1?321?32．

Answer 1

∵f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，
又∵f（x）=-2x²+bx+c=-2（x-

b

4

）²+

b2

8

+c
∴

b

4

=1，

b2

8

+c=1，
∴b=4，c=-1，
∴f（x）=-2（x-1）²+1，
∵f（x）≤1，
∴

1

m

≤1，即m≥1，
∴f（x）在[m，n]上单调减，
∴f（m）=-2（m-1）²+1=

1

m

且f（n）=-2（n-1）²+1=

1

n

∴m，n是方程f（x）=-2（x-1）²+1=

1

x

的两个解，
即（x-1）（2x²-2x-1）=0，
解方程得方程的根：1，

1+ 3

2

，

1? 3

2

．
∵1≤m＜n，
∴m=1，n=

1+ 3

2

．
∴m-n=

1? 3

2

；
故答案为：

1? 3

2

．