Question

如何计算e的[x的平方]次方的不定积分?

Answer 1

求不定积分：

(1)∫e^(-x)dx

解：原式=-∫d[e^(-x)]=-e^(-x)+C

(2)∫∣sinx∣dx

解：当2kπ≦x≦(2k+1)π时，sinx≧0，此时∫∣sinx∣dx=∫sinxdx=-cosx+C；

当(2k+1)π≦x≦2(k＋1)π时，sinx≦0，此时∫∣sinx∣dx=-∫sinxdx=cosx+C；

证明：

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞<C<+∞}。

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。