Question

解微分方程

解伯努利第一线性方程
（a^2-x^2）y'+xy=a^2

Answer 1

解:∵微分方程为(a²-x²)y'+xy=a²
∴设f(x)，有[f(x)(a²-x²)]'=xf(x)，
f'(x)(a²-x²)+f(x)(-2x)=xf(x)，
f'(x)(a²-x²)=3xf(x)，df(x)/f(x)=
3xdx/(a²-x²)，可得:
ln|f(x)|=-1.5ln|a²-x²|，f(x)=
(a²-x²)^(-1.5)
∴有[y(a²-x²)^(-0.5)]'=a²(a²-x²)^(-1.5)
y/√(a²-x²)=1/√(a²-x²)+
x²(a²-x²)^(-1.5)+c，方程的通解为
y=1+x²/(a²-x²)+c√(a²-x²)
(c为任意常数)