Question

高中理科数学，排列组合问题求详解。甚为感谢，定好评。

Answer 1

一、相邻问题捆绑法
例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种
A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有种排法；甲、乙两人之间有种排法。由分步计数原理可知，共有=240种不同排法，选C。
评注：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是在解决对于某几个元素相邻的问题时，可整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
二、相离问题插空法
例2 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，有多少不同的排法？（只要求写出式子，不必计算）
解：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为种；这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目，有种排法。由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种。
评注：从解题过程可以看出，不相邻问题是要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开。此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法。
三、定序问题缩倍法
例3 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号。现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是__________（用数字作答）。
解：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能算作一次的挂法，故共有不同的信号种数是=10（种）。
评法：在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题。这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷。
四、标号排位问题分步法
例4 同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡的分配方式有（ ）
A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种
解：此题可以看成是将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有种填法；第二步把被填入方格的对应数字，填入其它3个方格，又有种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中，只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法，而选B。
评注：把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。
五、有序分配问题逐分法
例5 有甲、乙、丙三项任务，甲需由2人承担，乙、丙各需由1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法共有（ ）种
A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040
解：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下8人中选1人承担乙项任务，最后从剩下7人中选1人承担丙项任务。根据分步计数原理可知，不同的选法共有=2520种，故选C。
评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，常采用逐步下量分组法求解。
六、多元问题分类法
例6 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（ ）
A. 210个 B. 300个 C. 464个 D. 600个
解：按题意个位数只可能是0，1，2，3，4共5种情况，符合题意的分别有，个。合并总计，共有＋=300（个），故选B。
评注：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求，分成互不相容的几类情况分别计算，最后总计。
另解：先排首位，不用0，有种方法；再同时排个位和十位，由于个位数字小于十位数字，即顺序固定，故有种方法；最后排剩余三个位置，有种排法。故共有符合要求的六位数=300（个）。
七、交叉问题集合法
例7 从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集U={6人中任取4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素个数的公式可得参赛方法共有
=252（种）。
评注：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数的公式：来求解。
八、定位问题优限法
例8 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）
A. B. C. D.
解：先把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，则油画与国画有种放法。再考虑油画之间与国画之间又可以各自全排列。故总的排列的方法为种，故选D。
评注：所谓“优限法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑。
九、多排问题单排法
例9 两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的坐法种数为（ ）
A. B. C. D.
解：此题分两排坐，实质上就是8个人坐在8个座位上，故有种坐法，所以选D。
评注：把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑。
十、至少问题间接法
例10 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）种
A. 140 B. 80 C. 70 D. 35
解析：在被取出的3台中，若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合题意，故符合题意的取法有=70种，选C。
评注：含“至多”或“至少”的排列组合问题，通常用分类法。本题所用的解法是间接法，即排除法（总体去杂），适用于反面情况明确且易于计算的情况。
十一、选排问题先取后排法
例11 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_________种（用数字作答）。
解：先从四个小球中取两个放在一起，种不同的取法；再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有种不同的放法。依据分步计数原理，共有种不同的方法。
评注：这是一道排列组合的混合应用题目，这类问题的一般解法是先取（组合）后排（排列）。本题正确求解的关键是把四个小球中的两个视为一个整体，如果考虑不周，就会出现重复和遗漏的错误。
十二、部分符合条件淘汰法
例12 四面体的顶点及各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（ ）
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种
解：10个点中取4个点共有种取法，其中同一侧面内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有4个；又同一条棱上的3个点与对棱的中点也四点共面，共有6个面；再各棱中点共6个点中，取四点共面的平面有3个。故符合条件4个点不共面的取法共有=141（种），故选D。
评注：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件的个数，即为所求。