Question

已知f(x)=|x²+2x-1|若a<b<-1,且f(a)=f(b),求a+b+ab取值范围

Answer 1

f(a)=f(b)，所以有两种情况：

a^2+2a-1与b^2+2b-1相等，或者互为相反数

（1）我们可以先假设相等，变形为（a+1）^2-2=(b+1)^2-2,然后得（a+1）^2=(b+1)^2即|a+1|=|b+1|此时利用条件a<b<-1知|   |里的都是负值，既然同号就把绝对值拿掉，得到a+1=b+1,推得a=b，显然是一个错误的结论，所以假设错误。

（2）那么只能是第二种情况，相反数，即(a^2+2a-1)+(b^2+2b-1)=0,化简得a^2+b^2+2a+2b-2=0,

a^2+b^2+2a+2b=2,

Answer 2

画f（x）图易知-3<a<-1-2^(0.5),-1-2^(0.5)<b<-1,
且a^2+2a-1=-(b^2+2b-1)
所以(a+1)^2+(b+1)^2=4
令a=2sint-1,b=2cost-1
则-3/4π+2kπ<t<-1/2π+2kπ，k为整数
所以ab+a+b=(2sint-1)*(2cost-1)+2sint-1+2cost-1=2sin2t-1
由于-3/2π+4kπ<2t<-π+4kπ
所以-1<sin2t<0
所以-3<ab+a+b<-1

Answer 3

y=x²+2x-1=(x+1)²-2 图像关于x=-1对称
保留y=x²+2x-1原来上方部部分不动
将图像在x轴下方部分翻到x轴上方
得到y=f(x)=|x²+2x-1|的图像
由x²+2x-1<0得 -1-√2<x<-1+√2
∴f(x)={x²+2x-1 (x≤-1-√2)
{-x²-2x+1 (-1-√2<x<-1+√2)
∴f(x）在（-∞，-1-√2）上递减
在(-1-√2,-1)上递增
∵a<b<-1,且f(a)=f(b),
∴a<-1-√2<b<-1
∴a²+2a-1=-b²-2b+1
∴(a+1)²=4-(b+1）²
∴（a+1)²+(b+1)²=4
∵a+1<0,b+1<0
∴4=(a+1)²+(b+1)²>2|(a+1)(b+1)|=2(a+1)(b+1)
（∵a+1≠b+1∴不能取等号）
∴(a+1)(b+1)<2
∴a+b+ab
=(a+1)(b+1)-1<1
又(a+1)(b+1)>0
∴a+b+ab>-1
∴a+b+ab取值范围是(-1,1)