Question

已知函数f（x）=x 2 + a x （x≠0）．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（1）=2

已知函数f（x）=x 2 + a x （x≠0）．（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若f（1）=2，试判断f（x）在[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

（1）当a=0时，f（x）=x 2 ，f（-x）=f（x），函数是偶函数．…（2分） 当a≠0时，f（x）=x 2 + a x （x≠0，常数a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0； f（-1）-f（1）=-2a≠0， ∴f （-1）≠-f （1），f （-1）≠f （1）．…（5分） ∴函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．…（6分） （2）若f（1）=2，即1+a=2，解得a=1，这时f（x）=x 2 + 1 x ．…（7分） 任取x 1 ，x 2 ∈[2，+∞），且x 1 ＜x 2 ，…（8分） 则f（x 1 ）-f（x 2 ）= x 21 + 1 x 1 -( x 22 + 1 x 2 )=( x 1 - x 2 )( x 1 + x 2 )+ x 2 - x 1 x 1 x 2 = ( x 1 - x 2 )[( x 1 + x 2 )- 1 x 1 x 2 ] ，…（11分） 由于x 1 ≥2，x 2 ≥2，且x 1 ＜x 2 ，∴x 1 -x 2 ＜0，x 1 +x 2 ＞ 1 x1x2 ，…（12分） 所以f（x 1 ）＜f（x 2 ），…（13分） 故f（x）在[2，+∞）上是单调递增函数．…（14分）