Question

矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE= 3 ，则BD=______

矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，若OE：ED=1：3，AE= 3 ，则BD=______．

Answer 1

如图（一）所示， AB是矩形较短边时， ∵矩形ABCD， ∴OA=OD= 1 2 BD ； ∵OE：ED=1：3， ∴可设OE=x，ED=3x，则OD=2x ∵AE⊥BD，AE= 3 ， ∴在Rt△OEA中，x 2 +（ 3 ） 2 =（2x） 2 ， ∴x=1 ∴BD=4． 当AB是矩形较长边时，如图（二）所示， ∵OE：ED=1：3， ∴设OE=x，则ED=3x， ∵OA=OD， ∴OA=4x， 在Rt△AOE中，x 2 +（ 3 ） 2 =（4x） 2 ， ∴x= 5 5 ， ∴BD=8x=8× 5 5 = 8 5 5 ． 故答案为：4或 8 5 5 ．