Question

已知两直线l 1 ，l 2 分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好

已知两直线l 1 ，l 2 分别经过点A（1，0），点B（-3，0），并且当两直线同时相交于y正半轴的点C时，恰好有l 1 ⊥l 2 ，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线l 2 交于点K，如图所示。（1）求点C的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线l 1 ，抛物线，直线l 2 和x轴依次截得三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由。（3）当直线l 2 绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，请找出使△MCK为等腰三角形的点M，简述理由，并写出点M的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意易知：△BOC∽△COA， ∴ ， 即 ∴ ∴点C的坐标是（0， ） 由题意，可设抛物线的函数解析式为 把A（1，0），B（-3，0）的坐标分别代入 ， 得 解这个方程组，得 ∴抛物线的函数解析式为 ； （2）截得三条线段的数量关系为KD=DE=EF 理由如下： 可求得直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 抛物线的对称轴为直线 由此可求得点K的坐标为（-1， ），点D的坐标为（-1， ），点E的坐标为（-1， ），点F的坐标为（-1，0） ∴KD= ，DE= ，EF= ∴KD=DE=EF （3）（i）以点K为圆心，线段KC长为半径画圆弧，交抛物线于点M 1 ，由抛物线对称性可知点M 1 为点C关于直线 的对称点 ∴点 的坐标为（-2， ），此时△ 为等腰三角形 （ii）当以点C为圆心，线段CK长为半径画圆弧时，与抛物线交点为点 和点A，而三点A、C、K在同一直线上，不能构成三角形 （iii）作线段KC的中垂线l，由点D是KE的中点，且 ，可知l经过点D， ∴KD=DC 此时，有点 即点D坐标为（-1， ），使△ 为等腰三角形； 综上所述，当点M的坐标分别为（-2， ），（-1， ）时，△MCK为等腰三角形。