Question

若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60°

若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证三角形三内角都是60°．

Answer 1

证明：由三角形三内角成等差数列可知，此三角形必有一内角为60°， 今设其对边为a，则三角形的三边分别为 a q ，a，aq （此处q为公比，且q＞0） 由余弦定理可得 a 2 =( a q ) 2 +(aq ) 2 -2? a q ?cos60° 1= 1 q 2 + q 2 -2? 1 2 1 q 2 -2+ q 2 =0 ( 1 q -q ) 2 =0 ， 1 q =q ， ∴q 2 =1q=1，q=-1（不合题意，舍去） 由q=1可知，此三角形为等边三角形， 三个内角均为60°．