Question

如图,三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 中,CA=CB,AB=AA 1 ,∠BAA 1 =60°. (1)证明:AB⊥A 1 C;(2)若AB=CB=2,A 1 C

如图,三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 中,CA=CB,AB=AA 1 ,∠BAA 1 =60°. (1)证明:AB⊥A 1 C;(2)若AB=CB=2,A 1 C= ,求三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 的体积.

Answer 1

(1)见解析   (2)3

(1)证明:取AB的中点O,连接OC,OA 1 ,A 1 B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB. 由于AB=AA 1 ,∠BAA 1 =60°, 故△AA 1 B为等边三角形, 所以OA 1 ⊥AB. 因为OC∩OA 1 =O, 所以AB⊥平面OA 1 C. 又A 1 C?平面OA 1 C,故AB⊥A 1 C. (2)解:由题设知△ABC与△AA 1 B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA 1 = . 又A 1 C= ,则A 1 C 2 =OC 2 +O ,故OA 1 ⊥OC. 因为OC∩AB=O,所以OA 1 ⊥平面ABC,OA 1 为三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 的高. 又△ABC的面积S △ABC = ,故三棱柱ABC A 1 B 1 C 1 的体积V=S △ABC ×OA 1 =3.