Question

（2014?淮南二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E为PC的中点，且DE=EC

（2014?淮南二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD=CD=2AB=2，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，E为PC的中点，且DE=EC．（1）求证：PA⊥面ABCD；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈（π4，π3），求a的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵E为PC的中点，DE=EC=PE
∴PD⊥DC，
∵CD⊥AD，PD∩AD=D，
∴CD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥面ABCD；…（6分）
（2）解：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，
B（1，0，0），D（0，2，0）P（0，0，a），C（2，2，0），E(1，1，

a

2

)…（7分）
平面BCD法向量

n1

=（0，0，1），平面EBD法向量

n2

＝(2a，a，?2)…（9分）
cosθ＝

2

5a2+4

∈(

1

2

，

2

2

)，可得a∈(

2 5

5

，

2 15

5

)…（12分）