Question

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相

已知方程x2+y2-2x-4y+m=0（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为径的圆上，求实数m的值．

Answer 1

（1）方程x²+y²-2x-4y+m=0可化为（x-1）²+（y-2）²=5-m
∵方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：5y²-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜

24

5

，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=

16

5

，y₁y₂=

8+m

5

∴x₁x₂=（4-2y₁）（4-2y₂）=16-8（y₁+y₂）+4y₁y₂=

?16+4m

5

∵坐标原点O在以MN为径的圆上，
∴

OM

?

ON

＝0
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴

?16+4m

5

+

8+m

5

=0
∴m=

8

5

．