Question

设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C为（　　）A．EB．-EC．AD．-

设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C为（　　）A．EB．-EC．AD．-A

Answer 1

由：B=E+AB，C=A+CA，
知：（E-A）B=E，C（E-A）=A，
∴E-A与B 互为逆矩阵，
于是：B（E-A）=E，
从而：（B-C）（E-A）=B（E-A）-C（E-A）=E-A，
又E-A可逆，
∴B-C=E．
故选：A．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

B=E+AB 可推B-AB=（E-A）B=E 故（E-A）可逆，且（E-A)^-1=B，B^-1=(E-A）
C=A+CA 可推（C-CA）=A，可得C（E-A）=A
已证（E-A）可逆，且逆为B，所以C=A（E-A）^-1=AB
代入 B-C=B-AB=B(E-A）=B·B^-1=E
答B-C=E

Answer 4

我有一个更简单的，
（E-A）B=E，C（E-A）=A，
第一个式子两端左乘C
C（E-A）B=CE AB = C 故 B = E + C 得证更快