Question

已知：如图PA、PB是圆O的切线，A、B是切点，连接OA、OB、OP。 （1）若∠AOP=60°，求∠OPB的度数

（2）过O作OC、OD分别交于AP、BP于C、D两点。 1.若∠COP=∠DOP，求证AC=BD 2.连接CD,设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与圆O的位置关系，说明理由。

Answer 1

1.因为PA,PB是圆的切点，所以∠PAO=∠PBO=90 所以三角形OAP和三角形OPB是直角三角形
OP²=AP²+OA² OP²=OB²+BP² OA=OB 然后证明俩三角形全等（俩条直角边相等 还有90度角）所以 ∠APO=∠BPO=90-60=30
(2). 1.第一题证明俩三角形全等，所以∠POA=∠POB 又因为 ∠COP=∠DOP 所以 ∠COA=∠DOB 因为∠COA=∠DOB ∠A= ∠ B 所以 ∠ OCA= ∠ ODB
所以三角形OCA和三角形ODB全等，所以AC=BD
2.AC=BD AP=BP所以CP=DP 所以三角形CPF=三角形DPF 所以CF=DF 所以 ∠ CFP=90
CD+CP+DP=2(CF+CP) =1 因为2AP=2(AC+CP)=1所以AC=CF 三角形ACO和三角形OCF根据勾股定理得到AO=OF 所以是相切的哈。

Answer 2

（1）可得∠OAP=90°，根据切线长定理，∠OPB=∠OPA=180°-∠AOP-∠OAP=180°-60°-90°=30°
（2）1,：先证明△OCP全等于△ODP（ASA），
∴OC＝OD，
　 再证明△AOC全等于△BOD（HL）
　 ∴AC=BD
2：可得I=PC+PD+CD=2PC+CD
又I=2AP
∴2PC+CD=2AP＝2（PC＋AC）
　　　　　　　CD＝2AC＝AC＋BD
　　　你在自己想想，去证明CD⊥OE，
　　　　即直线CD与圆O相切

只能帮助你这么多了……

Answer 3

分析：（1）由已知可得到∠APO=30°，根据HL判定△PAO≌△PBO，从而得到∠OPB=∠OPA=30°．
（2）①由（1）知△PAO≌△PBO，得到∠POB=∠POA；再利用AAS判定△AOC≌△BOD，从而得到AC=BD；
②本题要充分利用l=2AP的条件．延长射线PA到F，使AF=BD；易证得△OAF≌△OBD（SAS），得OF=OD；
由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
在△OCF和△OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可证得△OCF≌△OCD，那么两三角形的对应边上的高也相等，则过O作OE⊥CD，则OE=OA，由此可证得CD与⊙O相切．

解答：解：（1）∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°；
又∠AOP=60°，
∴∠APO=30°；
由切线长定理知AP=BP，∠PBO=∠PAO=90°；
又OP=OP，
∴△PAO≌△PBO（HL）；
∴∠OPB=∠OPA=30°．
（2）①证明：由（1）中知△PAO≌△PBO；
∴∠POB=∠POA，又∠COP=∠DOP；
∴∠COA=∠DOB，而∠CAO=∠DBO=90°，OA=OB，
∴△AOC≌△BOD；
∴AC=BD；
②延长射线PA到F使AF=BD，
∵OA=OB，∠OAF=∠OBD；
∴△OAF≌△OBD；
∴OF=OD；
∵△PCD的周长为l，l=2AP，
∴l=PA+PB=PC+PD+AC+BD=PC+PD+CD；
∴CD=AC+BD，
∵AF=BD，
∴CF=CD；
又∵OC=OC，OF=OD；
∴△OFC≌△OCD（SSS）；
所以CF和CD边上所对应的高也应该相等．
过OE⊥CD于E，则OE=OA=R（R为半径长度）；
所以CD与⊙O相切．