Question

有两道高数题目，求各位大神解答，详细过程，送积分哦！

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Answer 1

10 F(x,y,t)=0,两边对x求导得：F1+F2y'+F3∂t/∂x=0
f=f(x,t)=0.两边对x求导得:y'=f1+f2∂t/∂x=0
或：F2y'+F3∂t/∂x=F1
y'- f2∂t/∂x=f1
解上述方程组得：y'=(F1f2+F3f1)/(F2f2+F3)

15.（1）在区间（0,x)对函数f(x)用拉格朗日中值定理：存在ξ属于（0,x)，使：
f(x)-f(0)=xf'(ξ)，即：f(x)=xf'(ξ)
f'(x)=1/(1+x^2)，如果存在ξ1和ξ2，使f(x)=xf'(ξ1)=xf'(ξ2)，
那么ξ1^2=ξ2^2,因为ξ1和ξ2>0,所以ξ1=ξ2（唯一性）
（2）由于0<ξ<x,x趋于1，ξ趋于0
limξ/x=limξf'(ξ)/f(x)

追问

（2）由于0<ξ<x,x趋于1，ξ趋于0
limξ/x=limξf'(ξ)/f(x) 不怎么理解啊。麻烦你解释下啊，大神！

追答

呵呵，昨天没写完，被推荐了。幸亏你问，不然没办法改
f(x)/x=f'(ξ)=1/(1+ξ^2),ξ^2=x/f(x)-1
lim(ξ/x)^2=lim(x^2-f(x)^2/(x^2f(x)^2)
=lim(x^2-(arctanx)^2)/x^4
因为arctanx=x-x^3/3+o(x^4)
x-arctanx=x^3/3+o(x^4), x+arctanx=2x-x^3/3+o(x^4),
x^2-(arctanx)^2=(x^3/3+o(x^4))(2x-x^3/3+o(x^4))=2x^4/3+o(x^4))
所以：lim(x^2-(arctanx)^2)/x^4=2/3
limξ/x=√(2/3)

Answer 2

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