Question

f(x)=∫<0,1>t|x-t|dt 用分段的方法

当1>=x>=0时
原式=∫<0,x>t(x-t)dt+∫<x.1>t(t-x)dt
=∫<0,x>txdx-∫<0,x>t^2dx+∫<x,1>t^2dx-∫<x,1>txdx
=1/2x^3-1/3x^3+1/3-1/3x^3-1/2x+x^2-1/2x^3

这部分有错误吗，在哪里

Answer 1

当x<0时，此时显然有x<t
f(x)=∫[0→1] t|x-t| dt
=∫[0→1] t(t-x) dt
=(1/3)t³-(x/2)t² |[0→1]
=1/3 - x/2
当0≤x≤1时
f(x)=∫[0→1] t|x-t| dt
=∫[0→x] t(x-t) dt + ∫[x→1] t(t-x) dt
=(x/2)t² - (1/3)t³ |[0→x] + (1/3)t³ -(x/2)t² |[x→1]
=x³/2 - x³/3 + 1/3 - x/2 - x³/3 + x³/2
=1/3 - x/2 + (1/3)x³
当x>1时，此时显然x>t
f(x)=∫[0→1] t|x-t| dt
=∫[0→1] t(x-t) dt
=(x/2)t² - (1/3)t³
=x/2 - 1/3

因此：f(x)=......分段函数，自己分段写一下。

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Answer 2

分段积分。