Question

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB平行CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2

E,E1分别是棱AD,AA1的中点
证明：平面D1AC垂直平面BB1C1C

Answer 1

∵棱锥是直棱锥,
∴CC1⊥平面ABCD,
∵AC∈平面ABCD,
∴AC⊥CC1,
在底面C、D分别作CM⊥AB，DN⊥AB，垂足为M、N点，
∵AB//CD，
∴四边形MNDC是矩形，
∴MN=CD=2，
MB=AN=（4-2）/2=1，
∴MB/BC=1/2，
∴〈MCB=30°，
∴MC=√3，（或用勾股定理）
AM=1+2=3，
在△AMC中，根据勾股定理，
AC=√（AM^2+MC^2)=2√3，
AC^2+BC^2=16=AB^2,
∴△ACB是RT△，
∴BC⊥AC，
∵CC1∩BC=C，
∴AC⊥平面BB1C1C，
∵AC∈平面D1AC，
∴平面D1AC⊥平面BB1C1C。