Question

已知函数 f(x)=sin(x+ 7π 4 )+cos(x- 3π 4 ) ，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和

已知函数 f(x)=sin(x+ 7π 4 )+cos(x- 3π 4 ) ，x∈R．（1）求f（x）的最小正周期和最小值；（2）已知 cos(β-α)= 4 5 ， cos(β+α)=- 4 5 ， 0＜α＜β≤ π 2 ，求f（β）的值．

Answer 1

（1）∵ f(x)=sin(x+ 7π 4 )+cos(x- 3π 4 ) =sinxcos 7π 4 +sin 7π 4 cosx +cosxcos 3π 4 +sinxsin 3π 4 = 2 2 sinx - 2 2 cosx - 2 2 cosx+ 2 2 sinx ∴ f(x)= 2 sinx- 2 cosx=2sin(x- π 4 ) ， ∴T=2π，f（x） max =2 （2）∵ cos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβ= 4 5 ，cos(β+α)=cosαcosβ-sinαsinβ=- 4 5 ∴cosαcosβ=0 ∵ 0＜α＜β≤ π 2 ?cosβ=0?β= π 2 ， ∴ f(β)= 2