Question

设 f(x)= e x 1+a x 2 ，其中a为正实数（Ⅰ）当a= 4 3 时，求f（x）的极

设 f(x)= e x 1+a x 2 ，其中a为正实数（Ⅰ）当a= 4 3 时，求f（x）的极值点；（Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

对f（x）求导得 f′（x）= 1+a x 2 -2ax (1+a x 2 ) 2 ×e x （Ⅰ）当a= 4 3 时，若f′（x）=0，则4x 2 -8x+3=0，解得 x 1 = 3 2 ， x 2 = 1 2 结合①，可知 所以， x 1 = 3 2 是极小值点， x 1 = 1 2 是极大值点． （Ⅱ）若f（x）为R上的单调函数，则f′（x）在R上不变号， 结合①与条件a＞0知ax 2 -2ax+1≥0在R上恒成立， 因此△=4a 2 -4a=4a（a-1）≤0，由此并结合a＞0，知0＜a≤1．