Question

若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（Ⅰ

若圆C经过坐标原点和点（6，0），且与直线y=1相切，从圆C外一点P（a，b）向该圆引切线PT，T为切点，（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知点Q（2，-2），且|PT|=|PQ|，试判断点P是否总在某一定直线l上，若是，求出l的方程；若不是，请说明理由；（Ⅲ）若（Ⅱ）中直线l与x轴的交点为F，点M，N是直线x=6上两动点，且以M，N为直径的圆E过点F，圆E是否过定点？证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）设圆心C（m，n）由题易得m=3----（1分）     半径 r=|1-n|= 9+ n 2 ，----（2分） 得n=-4，r=5----（3分）      所以圆C的方程为（x-3） 2 +（y+4） 2 =25----（4分） （Ⅱ）由题可得PT⊥CT----（5分）    所以 |PT|= |PC| 2 - |CT| 2 = (a-3) 2 + (b+4) 2 -25 -----（6分） |PQ|= (a-2) 2 + (b+2) 2 ----（7分） 所以 (a-3) 2 + (b+4) 2 -25 = (a-2) 2 + (b+2) 2 整理得a-2b+4=0 所以点P总在直线x-2y+4=0上----（8分） （Ⅲ）证明：F（-4，0）----（9分）    由题可设点M（6，y 1 ），N（6，y 2 ）， 则圆心 E(6， y 1 + y 2 2 ) ，半径 r= | y 1 - y 2 | 2 ----（10分） 从而圆E的方程为 (x-6 ) 2 +(y- y 1 + y 2 2 ) 2 = ( y 1 - y 2 ) 2 4 ----（11分） 整理得x 2 +y 2 -12x-（y 1 +y 2 ）y+36+y 1 y 2 =0又点F在圆E上，故 FM ? FN =0 得y 1 y 2 =-100----（12分）    所以x 2 +y 2 -12x-（y 1 +y 2 ）y-64=0 令y=0得x 2 -12x-64=0，----（13分）    所以x=16或x=-4 所以圆E过定点（16，0）和（-4，0）----（14分）