Question

（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图

（1）如图①，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．求证：AE=CF．（2）如图②，将?ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．求证：EI=FG．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵在△AOE和△COF中，

∠1＝∠2 OA＝OC ∠3＝∠4

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A₁E，∠A₁=∠A，∠B₁=∠B，
∴A₁E=CF，∠A₁=∠A=∠C，∠B₁=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
∵在△A₁IE与△CGF中，

∠A1＝∠C ∠5＝∠6 A1E＝CF

，
∴△A₁IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．