Question

已知函数f(x)=log4(4的x次方+1)+kx(k属于R)是偶函数1)求k的值

1)求k的值
(2)设g(x)=log4(a*2的x次方-三分之四a)若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,求实数a的取值范围

Answer 1

f（x）是偶函数,
则f（x）=f（-x）
log4(4的x次方+1)+kx=log4(4的-x次方+1)-kx
log4(4的x次方+1)-log4(4的-x次方+1)=-2kx
log4(4的x次方+1)/(4的-x次方+1)=-2kx
log4(4的x次方)=-2kx
x=-2kx
x属于R
所以,k=-1/2

函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点,
则,log4(4的x次方+1)-1/2x=log4(a*2的x次方-三分之四a)
即,2^x+1/2^x=a*2^x-4/3a有且只有一个实数根
令2^x=u>0
则,u+1/u=au-4/3a
(a-1)u^2-4/3au-1=0
1.a=1时,u=-3/4<0,不符合
2.△=16/9a^2+4a-4=0时,a=-3(经检验符合),或a=3/4(经检验不符合)
3.若方程有一个正根一个负根,则-1/(a-1)<0,解得a>1(经检验符合)
所以实数a的取值范围为a=-3或a>1