Question

（2014?河北区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两

（2014?河北区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=5，AC=4，求⊙O的半径r．

Answer 1

（1）证明：连接OD，如图，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠ABC的平分线交AC于点D，
∴∠OBD=∠DBC，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ADO=90°，
∴OD⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=

AB2?AC2

=3，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴

OD

BC

=

AO

AB

，即

r

3

=

5?r

5

，
解得r=

15

8

．