Question

已知函数f（x）=xex+m，m∈R．（Ⅰ）当m=0时，求f（x）的单调区间、最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=|lnx|-f

已知函数f（x）=xex+m，m∈R．（Ⅰ）当m=0时，求f（x）的单调区间、最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=|lnx|-f（x），若存在实数x0使得g（x0）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当m=0时，f'（x）=（xe^-x）'=e^-x-xe^-x=（1-x）e^-x．（4分）
当x＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（-∞，1）上是增函数；（5分）
当x＞1时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数；（6分）
所以f（x）的最大值为f(1)＝

1

e

．（7分）
故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），
单调递减区间为（1，+∞），最大值为

1

e

．
（Ⅱ）由已知x＞0．
当0＜x＜1时，g（x）=-lnx-f（x），
g′(x)＝?

1

x

+(x?1)e?x＜0，函数g（x）在区间（0，1）上是减函数；（9分）
当x＞1时，g（x）=lnx-f（x），g′(x)＝

1

x

+(x?1)e?x＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上是增函数，（11分）
所以g（x）的最小值为g(1)＝?

1

e

?m．（12分）
若存在实数x₀，使得g（x₀＜0），则?

1

e

?m＜0，解得m＞?

1

e

．
所以m的取值范围为(?

1

e

，+∞)．（13分）