Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若对任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求证：关于x的

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若对任意x1，x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）≠f（x2），求证：关于x的方程f(x)＝12[f(x1)+f(x2)]有两个不相等的实数根且必有一个根属于（x1，x2）；（2）若关于x的方程f(x)＝12[f(x1)+f(x2)]在（x1，x2）的根为m，且x1，m?12，x2成等差数列，设函数f （x）的图象的对称轴方程为x=x0，求证：x0＜m2．

Answer 1

解答：证明：（1）∵f(x)＝

1

2

[f(x1)+f(x2)]，∴ax2+bx+c＝

1

2

[a

x

2 1

+bx1+c+a

x

2 2

+bx2+c]，
整理得：2ax²+2bx-a（x₁²+x₂²）-b（x₁+x₂）=0，（2分）
∴△=4b²+8a[a（x₁²+x₂²）+b（x₁+x₂）]=2[（2ax₁+b）²+（2ax₂+b）²]，
∵x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，∴2ax₁+b≠2ax₂+b，（4分）
∵△＞0，故方程有两个不相等的实数根．                    （6分）
令g(x)＝f(x)?

1

2

[f(x1)+f(x2)]，（7分）
则g(x1)g(x2)＝?

1

4

[f(x1)?f(x2)]2，
又f（x₁）≠f（x₂），则g（x₁）g（x₂）＜0，
故方程f(x)＝

1

2

[f(x1)+f(x2)]有一个根属于（x₁，x₂）．         （9分）
（2）∵方程f(x)＝

1

2

[f(x1)+f(x2)]在（x₁，x₂）根为m，
∴f(m)＝

1

2

[f(x1)+f(x2)]，∴a（2m²-x₁²-x₂²）+b（2m-x₁-x₂）=0，（10分）
∵x1，m?

1

2

、x₂成等差数列，则x₁+x₂=2m-1，（12分）
∴b=-a（2m²-x₁²-x₂²），
故x0＝?

b

2a

＝

2m2?( x 2 1 + x 2 2 )

2

＝m2?

x 2 1 + x 2 2

2

＜m2．                    （14分）