一道高中数列的问题:求详细解答题目见图片:
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用平方和的公式就能解。
原式=[n(n+1)(2n+1)/3]-n^2
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S1=1^2
S2=1^2+2^2+1^2
S3=1^2+2^2+3^2+2^2+1^2
Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2+……3^2+2^2+1^2
Sn-Sn-1=n^2+(n-1)^2
则Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2+(1^2+2^2+3^2+……+(n-1)^2)
而1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
则Sn=1/6*n*(n+1)*(2n+1)+1/6*(n-1)*(n+1-1)*(2n-1)=1/6*n*(2n^2+3n+1+2n^2-3n+1)
=1/6*n*(4n^2+2)=1/3*n*(2n^2+1)
S2=1^2+2^2+1^2
S3=1^2+2^2+3^2+2^2+1^2
Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2+……3^2+2^2+1^2
Sn-Sn-1=n^2+(n-1)^2
则Sn=1^2+2^2+3^2+……+n^2+(1^2+2^2+3^2+……+(n-1)^2)
而1^2+2^2+3^2+……+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
则Sn=1/6*n*(n+1)*(2n+1)+1/6*(n-1)*(n+1-1)*(2n-1)=1/6*n*(2n^2+3n+1+2n^2-3n+1)
=1/6*n*(4n^2+2)=1/3*n*(2n^2+1)
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