Question

如图,四边形ABCD是正方形,以AB为边向正方形外做等边三角形ABE,CE与BD交于F

（1）写出∠AFD度数
（2）探究线段FA、FB、FD之间的数量关系并证明
（3）取BE中点M，连AM交CE于N，则CN、AN间的数量关系为？

Answer 1

1、结论：∠AFD=60°

证明;

∵BE=BC,∴三角形ABE为等边三角形,

∴∠CBE=∠ABC+∠ABE=90°+60°=150°,  ∠BCE=15°

∴∠CFD=60°

∵ △CDF≌△AFD(SAS,略）

∴∠AFD=∠CFD=60°

2、结论：FA+FB=FD

证明：在DF上取GF=AF,∵∠AFD=60°,∴△AFG是正三角形。

在△ADG和△ABF中，

∠ADG=∠ABF=45°,，∠AGD=∠AFB=180°-60=120°,AD=AB.

∴△ADG≌△ABF,，∴DG=BF,又∵GF=AF

∴DG+GF=BF+AF   即：FA+FB=FD

3、结论：AN：CN=（√6-√2）/2

可以求出△ACN的三个角的度数：∠ACN=30°,∠CAN=75°,∠ANC=75°

如果你学过正弦定理和和角公式，可以直接计算。

AN/sin30°=CN/sin75°

如果没有学过，可以把△ACN拿出来，按下面的方法计算：

在△AIJ中，设IJ=x，AJ=2x，AI=√3x,

∴IN=√3x,∴AN=√6x，

∴CA=CJ+JA=JN+JA=2x+x+√3x=(3+√3)x

∴AN：CN=√6x：(3+√3)x=（√6-√2）/2

∴AN：CN=（√6-√2）/2

Answer 2

因为BE=BC,三角形ABE为等边三角形,
所以角CBE=150度 角BCE=15度
所以角CFD=60度
因为 三角形CDF全等于三角形AFD
所以角AFD=角CFD=60度

数量关系 FA^2=FB^+FD^2
证明 连接AC交BD于O 所以AC垂直BD
假设OF为a
因为角AFD=60度 所以AF=2a AO=根号3*a
所以 BF=(根号3-1)*a DF=(根号3+1)*a
所以 FA^2=FB^+FD^2

作EF垂直BC于F 因为角CAE=105度 角ACE=30度
因为M 为BE 中点,
角BAN=30度 所以角CAN=角CNA
所以 AC=CN
因为三角形ANE相似于三角形CAE
所以 AN/AC=AE/CE
EF=1/2BE BF=(根号3)/2
所CE^2=2+根号3
所以AN ^2=(2-根号3)*CN^2

Answer 3

我只会第一题，因为我不知道第二三题中数量关系是指什么····
第一题是，你先证明，三角形CDF全等与三角形ADF 因为ABCD是正方形，所以ad=cd df=df
又因为bd是正方abcd的对角线， 所以 角cdf=角adf=45度 边边角，所以两三角形全等
所以角afd=角cfd 又因为abe是等边三角形，所以cb=be 所以三角形bce是等腰三角形
又知角cba为90°，abe为60°，所以角cbe为150° 所以角bce为15°，所以fcd为75°，
又因为cdf为45°，所以角cfd为60°，所以角afd为60°~~~~~~~~
虽然只会一道题，还不知道对不对，但是希望能帮到你~