若f(x)在〔0,1〕上有二阶导数,且f(1)=0,设F(x)=x^2f(x),证明:在(0,1

内至少存在一点a,使F''(a)=0。求详细解答,谢谢!... 内至少存在一点a,使F''(a)=0。
求详细解答,谢谢!
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蓝雪儿老师
高能答主

2021-10-26 · 愿千里马,都找到自己的伯乐!
蓝雪儿老师
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证明:


∵f(x)在[0,1]上有二阶导数

∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导。

∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导又f(0)=f(1)=0。

∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0。

罗尔定理知在(0,1)内至少存在一点ξ1,使F'(ξ1)=0又F'(x)=f(x)+xf'(x)。

且f(0)=f(1)=0。

∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0。

∴F'(0)=F'(ξ1)=0。

∴由罗尔定理知在(0,ξ1), 即(0,1)内至少存在一点m,使F''(m)=0。

不至须臾6a
2014-10-23 · 知道合伙人教育行家
不至须臾6a
知道合伙人教育行家
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毕业于长安大学。任职于西安中学。

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证明:
∵f(x)在[0,1]上有二阶导数
∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导
∴F(x)及F'(x)在[0,1]上也连续可导

又f(0)=f(1)=0
∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0
由罗尔定理知
在(0,1)内至少存在一点ξ1,使F'(ξ1)=0

又F'(x)=f(x)+xf'(x)
且f(0)=f(1)=0
∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0
∴F'(0)=F'(ξ1)=0
∴由罗尔定理知
在(0,ξ1), 即(0,1)内至少存在一点m,使F''(m)=0

证毕
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