Question

高一数学题：求高人详解！

已知函数f(x)对任意实数x,y均有f(x+y)+2=f(x)+f(y),且当x>0时，f(x)>2,f(3)=5,求不等式f(a^2-2a-2)<3的解。

Answer 1

解：解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；
用定义：任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞2
∴f（x2）+f（-x1）-2＞2
∴f（x2）+f（-x1）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：
f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x2）+4-f（x1）＞4
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上递增，
又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是：不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）
∴a2-2a-2＜1
∴-1＜a＜3．
所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．

Answer 2

f(a^2-2a-2)=f((a-1)^2-3)=f((a-1)^2)+f(3)=f((a-1)^2)+5<3
f((a-1)^2)<-2
f((a-1)^2)>2
又当x>0时，f(x)>2
所以(a-1)^2>0
所以a<1或a>1

Answer 3

可设f（x）=kx+b，根据条件求出k、b，再解不等式．
解：解抽象函数的不等式，需知函数的单调性；
用定义：任取x1＜x2，x2-x1＞0，则f（x2-x1）＞2
∴f（x2）+f（-x1）-2＞2
∴f（x2）+f（-x1）＞4；
对f（x+y）+2=f（x）+f（y）取x=y=0得：
f（0）=2，再取y=-x得f（x）+f（-x）=4即f（-x）=4-f（x），
∴有f（x2）+4-f（x1）＞4
∴f（x2）＞f（x1）
∴f（x）在R上递增，
又f（3）=f（2）+f（1）-2=f（1）+f（1）-2+f（1）-2=3f（1）-4=5
∴f（1）=3；
于是：不等式f（a2-2a-2）＜3等价于f（a2-2a-2）＜f（1）
∴a2-2a-2＜1
∴-1＜a＜3．
所以不等式的解集为：a|-1＜a＜3．

求采纳~

Answer 4

不知道

Answer 5

不知道