Question

求解一道有关轴对称的数学题！

电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=6 如果跳蚤时开始在BC边的P0处，BP0=2。跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第一次落点）处，且CP1=CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第二次落点）处，且AP2=AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第三次落点）处，且BP3=BP2；……；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2009与点P2010之间的距离为________（请把推理过程写详细些，谢啦！）

Answer 1

不管怎么跳，都是落在每边的三等分点上嘛~
每次往逆时针相邻边的对称点跳过去。
用数学归纳法可以证明（其实这个显然，不用证明。。）：
如果上次跳的距离是4，也就是从三角形的下半部分的三等分点对称过去的，
那么下次跳的距离就是2，也就是从三角形的上半部分的三等分点对称。
反之亦然。也就是说，跳的距离是4、2、4、2。。交替进行的，而且跳6次就会返回P0。
那么易知，如果P的下标是从偶数跳到奇数，距离是4；如果从奇数跳到偶数，距离是2。
所以P2009到P2010之间的距离是2。

Answer 2

我认为答案是2
此题关键是找出跳蚤跳动的规律，其规律如下：
逆时针跳动，且每次跳动的轨迹（线段）总是平行于另一侧的线段。

这样每跳动六次后回到Po点，2009点除以6余数为5，,正好在Po的前一站点C（根据以上规律，这一点很明显能够找到，即PoD//AC,交AB于C点）而2010点正好被6整除，其落脚点在Po,所以根据题目所给线段长度，显然：P2009与点P2010之间的距离为PoD=2

以上答案仅供参考，如有疑问可继续追问！

Answer 3

可知电子跳蚤成周期性跳，周期为6步
第一步：P1

第二步：P2

第三步：P3

第四步：P4（P1与C的中点）

第五步：P5（P2与B的中点）

第六步：P6 = P0

第七步：重复第一步

……
∴ 按周期算P2009、P2010分别为P5、P0
∵ |P5P0| = |AC|/3 = 6/3 = 2
∴ |P2009点P2010| = 2