Question

请教：非线性拟合的相关系数r的公式

我们知道当两组数据成线性关系时，其相关系数r的公式为
。那么如果两组数据是非线性关系，比如指数、对数或者一元二次、一元三次方程关系，这个r的公式是怎样的？比如这两组数据

，用一元三次方程拟合，得到的R^2是0.9998，如果用线性拟合，得到的R^2仅为0.8413，用前述r的公式算出来的r等于0.9172，即为0.8413的开平方。显然，R^2的计算公式，用不同的拟合方程是不同的。请教高手，R^2在用不同拟合方程时（最主要是一元三次方程）的算法。
PS：我查过资料，似乎r只是描述两组数据的线性相关系数的，跟拟合方法没有关系。这是个概念问题。我的问题很明确，不考究概念，只求R^2的算法，知道了R^2，自然知道r的算法^_^。

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Answer 1

非线性拟合的相关系数r的公式：y'+P(x)y=Q(x)。当Q(x)≠0时，称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。)。

当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y'是关于y及其各阶导数的1次的，P(x)y是一次项，它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项，所以为齐次。)

概念分析

线性拟合作为数学计算中一种常用的数学方法，在建筑、物理、化学、甚至于天体物理、航天中都得到基本的应用。一般情况下，线性拟合需要根据实际需要，取用不同的拟合度，即R2。

已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λm), 使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)。

Answer 2

追问

非常感谢！不过，你这是反算法，就是先通过拟合方程求出因变量的拟合值，再用拟合值与理论值进行计算。我想知道的是，能不能直接由原始的两组数据，直接用某个公式算出r或者R^2？