Question

已知函数f(x)=log2(4^x+1)+kx(k属于R)是偶函数(1)若f(2t^2+1)<f(t^2-2t+1),求t的取值范围

Answer 1

f(x)的定义域为R
所以任取点x=1时
f(1)=f(-1)
log2(4+1)+k=log2(1/4+1)-k
log2(5)+k=log2(5/4)-k
log2(5)+k=log2(5)-log2(4)-k
2k=-log2(4)=-2
k=-1
f(x)=log2(4^x+1)-x
=log2(4^x+1)-log2(2^x)
=log2((4^x+1)/2^x)=log2(2^x+1/2^x)
因为 2^x >0
所以：f(x)>log2(2√(2^x*1/2^x))
f(x)>log2(2)
f(x)>1
因此，当x=0时，有最小值1
所以，当x<0时，为减函数
当x>=0时，为增函数

无论t为何值，2t²+1>0
t²-2t+1=(t-1)²>=0

所以位于增函数段内
即： 2t²+1<t²-2t+1
t²+2t<0
t(t+2)<0 t<0,t+2>0或 t>0,t+2<0

解得：-2<t<0