Question

如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线y＝ax 2 ＋bx－3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐

如图，在平面直角坐标系中，直线 与抛物线y＝ax 2 ＋bx－3（a≠0）交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1:2．若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．





Answer 1

（1） ；（2）① ； ；②0或3.

试题分析：（1）在y=x+1中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4，依此可得A与B的坐标；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式； （2）①设直线AB与y轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可； ②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为1：2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可． 试题解析：（1）在 中，当y=0时，x=-1；当y=5时，x=4． ∴A(-1，0)、B(4，5) . 将A(-1，0)、B(4，5)分别代入y＝ax 2 ＋bx－3中，得 ，解得 ． ∴所求解析式为 . （2）①设直线AB交y轴于点E，求得E（0，1），∴OA=OE，∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO="45°," ∴ ．  设 ，则 ， ∴ ． ∴ ． ∴PD的最大值为 ． ②当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1:2． 如图，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q， ∵sin∠ACP= ，∴cos∠ACP= . 在Rt△PDF中，DF=DP?sin∠DPC=DP?cos∠ACP= . 又∵BG=4-m， ∴ . 当 时，解得：m=0； 当 2时，解得：m=3． 故当m=0或m=3时，PC把△PDB分成两个三角形的面积比为1：2．