Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，CD=h，AB=c，下面有3个命题：（1） 1

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，CD=h，AB=c，下面有3个命题：（1） 1 a 2 + 1 b 2 = 1 h 2 ；（2）a+b＜c+h；（3）以a+b，h，c+h为边的三角形是直角三角形．其中正确命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3

Answer 1

（1）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=b，BC=a，CD=h，AB=c， ∴c= a 2 + b 2 ， ∴S △ABC = 1 2 ab= 1 2 ch， ∴h= ab c ，h 2 = a 2 b 2 c 2 ， ∴ 1 h 2 = c 2 a 2 b 2 ，即 1 h 2 = a 2 + b 2 a 2 b 2 = 1 a 2 + 1 b 2 ，故（1）正确； （2）∵ 1 2 ab= 1 2 ch， ∴ab=ch，即a 2 b 2 =c 2 h 2 ， ∴（a+b） 2 -a 2 -b 2 =（c+h） 2 -c 2 -h 2 ， ∴（c+h） 2 -（a+b） 2 =c 2 -a 2 -b 2 +h 2 ， ∵a 2 +b 2 =c 2 ， ∴（c+h） 2 -（a+b） 2 =h 2 ， ∵h＞0，且a b c h均为线段． ∴a＞0，b＞0，c＞0，h＞0， ∴c+h＞a+b，故（3）正确； （3）∵（c+h） 2 =c 2 +2ch+h 2 ； h 2 +（a+b） 2 =h 2 +a 2 +2ab+b 2 ，a 2 +b 2 =c 2 （勾股定理），ab=ch（面积公式推导）， ∴c 2 +2ch+h 2 =h 2 +a 2 +2ab+b 2 ， ∴（c+h） 2 =h 2 +（a+b） 2 ， ∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，故正确． 故选D．

Answer 2

哈哈，自己写