Question

如图所示，斜面的倾角θ=37°，斜面的底端有一个光滑的半圆形轨道与斜面底端B点相接．质量为m=50kg的物体

如图所示，斜面的倾角θ=37°，斜面的底端有一个光滑的半圆形轨道与斜面底端B点相接．质量为m=50kg的物体，从斜面的顶点A处以v0=20m/s沿水平方向飞出，刚好落在斜面底端B处，其竖直速度立即变为零，然后进入半圆形轨道恰好能通过最高点C．（cos37°=0.8，sin37°=0.6，g取10m/s2，不计空气阻力）求：（1）半圆轨道的半径R；（2）物体从A运动到B的时间t；（3）如图，圆弧上点D与圆心连线与水平面平行，求小球过D点时对轨道的压力大小．

Answer 1

（1）设半圆形轨道的半径为R，因为物体恰好到达最高点，所以只有重力提供向心力．
设最高点的速度为v，则有：mg＝m

v2

R

．
从B点到最高点的过程，机械能守恒，则有：

1

2

mv∥2＝

1

2

mv2+2mgR．
根据题意有：v_∥=v₀．
代入数据，联立解得：R=8m．
（2）从A到B的过程，做平抛运动，水平方向上有：x=v₀t，竖直方向上有：y=

1

2

gt2．
因为

y

x

＝tan37°
解得：t=

2v0tan37°

g

＝3s．
（3）根据机械能守恒定律得：

1

2

mv∥2＝

1

2

mvD2+mgR(1?sinθ)
代入数据，解得：v_D=4

21

m/s．
根据牛顿第二定律得：N-mgsin37°=m

vD2

R

代入数据解得：N=2400N．
根据牛顿第三定律知，小球在D点对轨道压力大小为2400N．
答：（1）半圆轨道的半径R为8m；
（2）物体从A运动到B的时间t为3s；
（3）小球过D点时对轨道的压力大小为2400N．