Question

如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于点P、交⊙O于点D，连接DB、DC，在AD上取一点I，使DI=DB

如图所示，已知△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交BC于点P、交⊙O于点D，连接DB、DC，在AD上取一点I，使DI=DB．（1）求证：DI2=DP?AD； （2）求证：∠ABI=∠CBI；（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=120°，求△BDC的面积？

Answer 1

证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDA=∠BDP，
∴△BDA∽△PDB，
∴BD²=AD?DP，
∵DI=DB，
∴DI²=DP?AD；

（2）∵DI=DB，
∴∠IBD=∠BID
∵∠CBI=∠IBD-∠CBD，∠ABI=∠BID-∠BAD，
∴∠ABI=∠CBI；

（3）∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠CAD=60°，
∴∠CBD=∠BCD=60°，
∴△BCD为等边三角形，
∵⊙O的半径为

3

，
∴BC=3，
∴S_△BDC=

9 3

4

．