Question

如图，在△ABC中，∠ACB=2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，（见下）

过点H做直线L⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M。
（1）当直线L经过点C时，证明BN=CD。
（2）当M是BC中点时，证明CE和CD之间的等量关系

（3）BN、CE、CD之间的关系

Answer 1

1、证明：连接DN
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵CN⊥AD
∴∠AHC＝∠AHN＝90
∵AH＝AH
∴△AHC≌△AHN （ASA）
∴AN＝AC
∵AD＝AD
∴△ADC≌△ADN （SAS）
∴CD＝ND，∠ACB＝∠AND
∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B
∴∠B＝∠BDN
∴BN＝ND
∴BN＝CD
2、CD＝2CE
证明：过点C作CP⊥AD交AB于P，交AD于Q，连接PD
根据（1）的同理证明可得：BP＝CD，AP＝AC，AN＝AE
∴NP＝AN-AP，CE＝AE-AC
∴PN＝CE
∵CP⊥AD，EN⊥AD
∴CP∥EN
∵M是BC的中点
∴MN是△BCP的中位线
∴BP＝2PN
∴BP＝2CE
∴CD＝2CE
3、
BN+CE＝CD

Answer 2

（1）证明：连接ND．
∵AO平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠4=∠5=90°，
∴∠6=∠7，
∴AN=AC，
∴NH=CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN=DC，
∴∠8=∠9．
∴∠AND=∠ACB，
∵∠AND=∠B+∠3，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠3，
∴BN=DN．
∴BN=DC；

（2）如图，当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD=2CE．
证明：过点C作CN'⊥AO交AB于N'．
由（1）可得BN'=CD，AN'=AC，AN=AE．
∴∠4=∠3，NN'=CE．
过点C作CG∥AB交直线l于G．
∴∠4=∠2，∠B=∠1．
∴∠2=∠3．
∴CG=CE．
∵M是BC中点，
∴BM=CM．
在△BNM和△CGM中，
∠B=∠1BM=CM∠NMB=∠GMC​，
∴△BNM≌△CGM．
∴BN=CG．
∴BN=CE．
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE．

（3）BN、CE、CD之间的等量关系：
当点M在线段BC上时，CD=BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD=BN-CE；
当点M在CB的延长线上时，CD=CE-BN．